3. Прямая DE, параллельная стороне АС треугольника АВС, отсекает от него треугольник DBC, стороны которого в четыре раза меньше сторон данного треугольника. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь трапеции ADEС равна 30 см².

Обозначим площадь треугольника ABC как $$S_{ABC}$$, площадь треугольника DBE как $$S_{DBE}$$, а площадь трапеции ADEC как $$S_{ADEC}$$.

Известно, что стороны треугольника DBE в четыре раза меньше сторон треугольника ABC, то есть коэффициент подобия $$k = \frac{1}{4}$$. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{DBE}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$$

Следовательно,

$$S_{DBE} = \frac{1}{16} S_{ABC}$$

Площадь трапеции ADEC равна разности площадей треугольников ABC и DBE:

$$S_{ADEC} = S_{ABC} - S_{DBE}$$

Подставим выражение для $$S_{DBE}$$:

$$S_{ADEC} = S_{ABC} - \frac{1}{16} S_{ABC} = \frac{15}{16} S_{ABC}$$

Известно, что площадь трапеции ADEC равна 30 см²:

$$30 = \frac{15}{16} S_{ABC}$$

Найдем площадь треугольника ABC:

$$S_{ABC} = \frac{30 \cdot 16}{15} = \frac{480}{15} = 32$$

Следовательно, площадь треугольника ABC равна 32 см².

Ответ: 32 см²