Прямая касается окружности в точке К. Точка О — центр окружности. Хорда КМ образует с касательной угол, равный 54°. Найдите величину угла ОМК. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен половине угловой меры дуги, стягиваемой этой хордой. В данном случае, угол между касательной и хордой КМ равен \( 54^{\circ} \). Это значит, что угол, опирающийся на дугу КМ, равен \( 2 \cdot 54^{\circ} = 108^{\circ} \).

Угол \( \angle KOM \) — центральный угол, который опирается на дугу КМ. Следовательно, \( \angle KOM = 108^{\circ} \).

Треугольник \( \triangle OMK \) является равнобедренным, так как стороны ОК и ОМ являются радиусами окружности.

\( OK = OM = R \).

Углы при основании равнобедренного треугольника равны. В \( \triangle OMK \) углы \( \angle OKM \) и \( \angle OMK \) равны.

Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). В \( \triangle OMK \):

\[ \angle KOM + \angle OKM + \angle OMK = 180^{\circ} \]

\[ 108^{\circ} + \angle OMK + \angle OMK = 180^{\circ} \]

\[ 108^{\circ} + 2 \angle OMK = 180^{\circ} \]

\[ 2 \angle OMK = 180^{\circ} - 108^{\circ} \]

\[ 2 \angle OMK = 72^{\circ} \]

\[ \angle OMK = \frac{72^{\circ}}{2} \]

\[ \angle OMK = 36^{\circ} \]

Ответ: 36