3. Прямая пересекает стороны треугольника АВС в точках М и К соответственно так, что МК || АС, ВM: AM = 1:4. Найдите периметр треугольника ВМК, если периметр треугольника АВС равен 25 см.

3. Дано: $$\triangle ABC$$, $$MK \parallel AC$$, $$\frac{BM}{AM} = \frac{1}{4}$$, $$P_{ABC} = 25 \text{ см}$$. Найти: $$P_{BMK}$$.

Так как $$MK \parallel AC$$, то $$\triangle BMK \sim \triangle BAC$$ (по двум углам: $$\angle B$$ - общий, $$\angle BMK = \angle BAC$$ как соответственные при параллельных прямых $$MK$$ и $$AC$$ и секущей $$AB$$).

$$\frac{BM}{BA} = \frac{BM}{BM + AM} = \frac{1}{1 + 4} = \frac{1}{5}$$

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия:

$$\frac{P_{BMK}}{P_{ABC}} = \frac{BM}{BA} = \frac{1}{5}$$

$$P_{BMK} = \frac{1}{5} P_{ABC} = \frac{1}{5} \times 25 \text{ см} = 5 \text{ см}$$

Ответ: $$P_{BMK} = 5 \text{ см}$$