1. Дано: ∠A = ∠B, CO = 4, DO = 6, AO = 5 (рис. 7.54). Найти: а) ОВ. б) АС: BD; в) SAOC: SBOD

Рассмотрим задачу №1: а) Так как углы A и B равны, то треугольники AOC и BOD подобны по двум углам (∠A = ∠B и ∠AOC = ∠BOD как вертикальные). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: $$ \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} $$. Подставим известные значения: $$ \frac{5}{BO} = \frac{4}{6} $$. Отсюда $$ BO = \frac{5 \cdot 6}{4} = \frac{30}{4} = 7.5 $$. б) Из подобия треугольников следует, что $$ \frac{AC}{BD} = \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} $$. Значит, $$ \frac{AC}{BD} = \frac{5}{7.5} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $$. в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Значит, $$ \frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = \left(\frac{AO}{BO}\right)^2 = \left(\frac{5}{7.5}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} $$. Ответ: а) OB = 7.5; б) AC : BD = 2 : 3; в) SAOC : SBOD = 4 : 9