Прямая, перпендикулярная биссектрисе угла С, пересекает стороны угла в точках А и В. Докажите, что треугольник АВС – равнобедренный.

Доказательство:

Пусть \( CL \) — биссектриса угла \( \angle C \) треугольника \( \triangle ABC \). Прямая \( AB \) перпендикулярна \( CL \) и пересекает стороны \( AC \) и \( BC \) в точках \( A \) и \( B \) соответственно. Пусть \( O \) — точка пересечения \( AB \) и \( CL \). Таким образом, \( \angle COA = 90^{\circ} \) и \( CO \) — биссектриса \( \angle C \).

Рассмотрим \( \triangle ABC \). \( CL \) — биссектриса \( \angle C \). По условию, \( AB \perp CL \). В \( \triangle ABC \) проведена биссектриса \( CL \), которая также является высотой (так как \( AB \perp CL \)).

Если в треугольнике биссектриса совпадает с высотой, то такой треугольник является равнобедренным.

Следовательно, \( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием \( AB \), и \( AC = BC \).

Что и требовалось доказать.