Высоты AN и ВМ равнобедренного треугольника АВС с основанием Ар пересекаются в точке О. Докажите, что АО=ВО.

Доказательство:

Рассмотрим равнобедренный треугольник \( \triangle ABC \) с основанием \( AB \). Высоты \( AN \) и \( BM \) пересекаются в точке \( O \).

Поскольку \( \triangle ABC \) равнобедренный с основанием \( AB \), то углы при основании равны: \( \angle CAB = \angle CBA \).

Рассмотрим треугольники \( \triangle ABM \) и \( \triangle BAN \).

• \( AB \) — общая сторона.
• \( \angle BAM = \angle ABM \) (углы при основании равнобедренного треугольника).
• \( \angle AMB = \angle BNA = 90^{\circ} \) (так как \( BM \) и \( AN \) — высоты).

По второму признаку равенства треугольников (углу, стороне, углу), \( \triangle ABM = \triangle BAN \).

Из равенства треугольников следует, что \( AM = BN \).

Теперь рассмотрим треугольники \( \triangle AOB \) и \( \triangle BOA \).

Из равенства \( \triangle ABM = \triangle BAN \) следует, что \( BM = AN \).

Также \( AO = AN - ON \) и \( BO = BM - OM \).

Рассмотрим треугольники \( \triangle AON \) и \( \triangle BOM \).

• \( \angle A = \angle B \)
• \( \angle ANO = \angle BMO = 90^{\circ} \)
• \( AN = BM \) (высоты равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны, или из равенства \( \triangle ABM = \triangle BAN \) следует \( AN = BM \)).

Тогда \( \triangle AON = \triangle BOM \) по второму признаку равенства треугольников.

Из равенства этих треугольников следует, что \( AO = BO \).

Что и требовалось доказать.