124 Прямая PQ параллельна плоскости с. Через точки Р и Q проведе- ны прямые, перпендикулярные к плоскости а, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р₁ и Q1. Докажите, что PQ = P1Q1.

Доказательство:

Дано: PQ || α, PP₁ ⊥ α, QQ₁ ⊥ α, P₁ ∈ α, Q₁ ∈ α.

Доказать: PQ = P₁Q₁.

1) Рассмотрим четырехугольник PP₁Q₁Q. PP₁ ⊥ α и QQ₁ ⊥ α, следовательно, PP₁ || QQ₁.

2) Проведем плоскость через PP₁ и QQ₁. В этой плоскости лежат прямые PP₁ и QQ₁, а также точки P, Q, P₁, Q₁.

3) Поскольку PP₁ || QQ₁ и PQ || α, то PQ || P₁Q₁. Следовательно, PP₁Q₁Q - параллелограмм.

4) В параллелограмме PP₁Q₁Q противоположные стороны равны: PQ = P₁Q₁.

Ответ: доказано.