Прямая проходит через середину диагонали АС параллелограмма АВСД и пересекает стороны ВС и АД в точках М и К соответственно. Докажите, что четырехугольник АМСК - параллелограмм

Пусть O - середина диагонали AC параллелограмма ABCD. Прямая, проходящая через O, пересекает стороны BC и AD в точках M и K соответственно. Требуется доказать, что AMCK - параллелограмм.

1. В параллелограмме ABCD противоположные стороны параллельны: AD || BC. Значит, AK || MC.

2. Рассмотрим треугольники AOK и COM. В этих треугольниках:

• AO = OC (так как O - середина AC)
• $$\angle KAO = \angle MCO$$ (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC)
• $$\angle AOK = \angle COM$$ (как вертикальные углы)

Следовательно, треугольники AOK и COM равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

3. Из равенства треугольников следует, что AK = MC.

4. Так как AK || MC и AK = MC, то четырехугольник AMCK является параллелограммом (по признаку: если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм).

Что и требовалось доказать.