Прямая у = -3х - 5 является касательной к графику функции y = x² + 7x + с. Найдите с.

Прямая является касательной к графику функции, если система уравнений, составленная из уравнения прямой и уравнения параболы, имеет одно решение.

Составим систему уравнений:

$$ \begin{cases} y = -3x - 5 \\ y = x^2 + 7x + c \end{cases} $$

Приравняем правые части уравнений:

$$x^2 + 7x + c = -3x - 5$$

Перенесем все в левую часть:

$$x^2 + 7x + 3x + c + 5 = 0$$ $$x^2 + 10x + c + 5 = 0$$

Получили квадратное уравнение. Прямая является касательной, если дискриминант равен нулю.

$$D = b^2 - 4ac$$

В нашем случае:

$$a = 1, b = 10, c = c + 5$$

Подставим в формулу дискриминанта:

$$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (c + 5) = 0$$ $$100 - 4c - 20 = 0$$ $$80 - 4c = 0$$ $$4c = 80$$ $$c = \frac{80}{4}$$ $$c = 20$$

Ответ: 20