8 Прямая у = 5х 8 является касательной к графику функции y = 6x2 + bx +16. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0. Ответ:

Прямая $$y = 5x - 8$$ является касательной к графику функции $$y = 6x^2 + bx + 16$$.

Найдем $$b$$, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

В точке касания значения функций равны, и значения их производных тоже равны.

$$6x^2 + bx + 16 = 5x - 8$$

$$6x^2 + (b - 5)x + 24 = 0$$

Производная функции $$y = 6x^2 + bx + 16$$ равна $$y' = 12x + b$$.

Производная прямой $$y = 5x - 8$$ равна $$y' = 5$$.

$$12x + b = 5$$

$$x = \frac{5 - b}{12}$$

Подставим $$x$$ в первое уравнение:

$$6(\frac{5 - b}{12})^2 + (b - 5)(\frac{5 - b}{12}) + 24 = 0$$

$$6\frac{(5 - b)^2}{144} + \frac{(b - 5)(5 - b)}{12} + 24 = 0$$

$$\frac{(5 - b)^2}{24} - \frac{(5 - b)^2}{12} + 24 = 0$$

$$\frac{(5 - b)^2}{24} - \frac{2(5 - b)^2}{24} + 24 = 0$$

$$\frac{-(5 - b)^2}{24} + 24 = 0$$

$$-(5 - b)^2 + 24 \cdot 24 = 0$$

$$(5 - b)^2 = 24^2$$

$$5 - b = \pm 24$$

$$b = 5 \pm 24$$

$$b_1 = 5 + 24 = 29$$

$$b_2 = 5 - 24 = -19$$

Если $$b = 29$$, то $$x = \frac{5 - 29}{12} = \frac{-24}{12} = -2$$.

Если $$b = -19$$, то $$x = \frac{5 - (-19)}{12} = \frac{24}{12} = 2$$.

Так как $$x > 0$$, то $$b = -19$$.

Ответ: -19