Прямая y = -5x + 14 является касательной к графику функции y = x³ + 3x² - 2x + 15. Найдите абсциссу точки касания.

Решение:

1. Найдём производную функции \( y = x^3 + 3x^2 - 2x + 15 \). \( y' = 3x^2 + 6x - 2 \).
2. Коэффициент наклона касательной равен производной в точке касания. Уравнение касательной \( y = -5x + 14 \) имеет угловой коэффициент \( -5 \).
3. Приравняем производную к угловому коэффициенту: \( 3x^2 + 6x - 2 = -5 \).
4. Решим полученное квадратное уравнение: \( 3x^2 + 6x + 3 = 0 \).
5. Разделим на 3: \( x^2 + 2x + 1 = 0 \).
6. Это полный квадрат: \( (x + 1)^2 = 0 \).
7. Отсюда \( x = -1 \).

Ответ: -1