4. Прямі BK і BL дотикаються до кола із центром O в точках K і L, ∠KBL = 60°. Знайдіть довжину відрізка BO, якщо радіус кола дорівнює 8 см.

Дано: BK і BL - дотичні до кола, OK = OL = 8 см (радіус), ∠KBL = 60°.

Потрібно знайти: BO.

Розв'язання:

Оскільки BK і BL - дотичні до кола, то OK ⊥ BK і OL ⊥ BL (радіус, проведений в точку дотику, перпендикулярний до дотичної).

Розглянемо чотирикутник OKBL. Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°.

$$∠KOL + ∠OKB + ∠O LB + ∠KBL = 360°$$

$$∠KOL + 90° + 90° + 60° = 360°$$

$$∠KOL = 360° - 90° - 90° - 60°$$

$$∠KOL = 120°$$

Розглянемо трикутник OKB (або OLB). ∠KBO = ∠LBO = 60° / 2 = 30°, оскільки BO - бісектриса кута KBL (дотичні, проведені з однієї точки до кола, утворюють рівні кути з лінією, що з'єднує цю точку з центром кола).

У прямокутному трикутнику OKB (∠OKB = 90°) знаємо OK (радіус) і ∠KBO.

Використовуємо тригонометричну функцію для знаходження BO:

$$sin(∠KBO) = \frac{OK}{BO}$$

$$sin(30°) = \frac{8}{BO}$$

$$BO = \frac{8}{sin(30°)}$$

$$sin(30°) = \frac{1}{2}$$

$$BO = \frac{8}{\frac{1}{2}}$$

$$BO = 16 \text{ см}$$

Відповідь: 16 см