Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 20, 12 и 11. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.

Решение:

Обозначим стороны большого прямоугольника как \( a \) и \( b \). Разрезы делят стороны на отрезки. Пусть разрезы делят сторону \( a \) на отрезки \( a_1 \) и \( a_2 \), а сторону \( b \) на отрезки \( b_1 \) и \( b_2 \).

Периметры четырёх меньших прямоугольников будут:

• Левый верхний: \( 2(a_1 + b_1) \)
• Правый верхний: \( 2(a_2 + b_1) \)
• Правый нижний: \( 2(a_2 + b_2) \)
• Левый нижний: \( 2(a_1 + b_2) \)

По условию, периметры трёх из них равны 20, 12 и 11. Запишем их:

• \( 2(a_1 + b_1) = 20 \)
• \( 2(a_2 + b_1) = 12 \)
• \( 2(a_2 + b_2) = 11 \)

Сложим периметры первого и третьего прямоугольников:

\[ 2(a_1 + b_1) + 2(a_2 + b_2) = 20 + 11 = 31 \]

Раскроем скобки:

\[ 2a_1 + 2b_1 + 2a_2 + 2b_2 = 31 \]

Перегруппируем члены:

\[ (2a_1 + 2b_2) + (2b_1 + 2a_2) = 31 \]

Заметим, что \( 2a_1 + 2b_2 \) — это периметр четвёртого (левого нижнего) прямоугольника, а \( 2b_1 + 2a_2 \) — это периметр второго (правого верхнего) прямоугольника, который равен 12.

Значит, \( 2(a_1 + b_2) + 12 = 31 \)

Отсюда периметр четвёртого прямоугольника:

\[ 2(a_1 + b_2) = 31 - 12 = 19 \]

Ответ: 19.