Прямоугольную трапецию с основаниями 2 и 10 вращают вокруг меньшей боковой стороны. Площадь боковой поверхности полученного тела вращения равна 204π. Найдите высоту трапеции.

При вращении вокруг меньшей боковой стороны основания трапеции становятся радиусами усечённого конуса: \(r=2\) и \(R=10\). Образующая усечённого конуса равна наклонной боковой стороне трапеции. По формуле боковой площади усечённого конуса:

\(\pi(R+r)l=204\pi\).

Подставим радиусы: \(\pi(10+2)l=204\pi\), поэтому \(l=17\).

Разность радиусов равна разности оснований трапеции: \(10-2=8\). Наклонная боковая сторона, высота трапеции и эта разность образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора высота равна \(h=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{225}=15\).

Ответ: 15.