7. Прямоугольный параллелепипед с измерениями 9 см, 7 см и 5 см покрасили со всех сторон и распилили на кубики с ребром 1 см. Сколько получилось кубиков, у которых окрашено: а) три грани; б) две грани; в) одна грань?

а) Три грани окрашены у кубиков, находящихся в вершинах параллелепипеда. У параллелепипеда 8 вершин, следовательно, 8 кубиков с тремя окрашенными гранями.

б) Две грани окрашены у кубиков, находящихся на ребрах, но не в вершинах. Количество кубиков на каждом ребре можно найти, вычитая 2 (вершинных) кубика. Потом надо умножить на количество ребер.

4 ребра по 9 см, 4 ребра по 7 см и 4 ребра по 5 см.

$$ 4 \cdot (9 - 2) + 4 \cdot (7 - 2) + 4 \cdot (5 - 2) = 4 \cdot 7 + 4 \cdot 5 + 4 \cdot 3 = 28 + 20 + 12 = 60 $$

60 кубиков имеют две окрашенные грани.

в) Одна грань окрашена у кубиков, находящихся на гранях, но не на ребрах. Сначала надо найти количество кубиков на каждой грани, вычитая кубики на ребрах (периметр) и потом сложить.

2 грани (9 x 7), 2 грани (7 x 5) и 2 грани (9 x 5)

$$ 2 \cdot (9-2) \cdot (7-2) + 2 \cdot (7-2) \cdot (5-2) + 2 \cdot (9-2) \cdot (5-2) = 2 \cdot 7 \cdot 5 + 2 \cdot 5 \cdot 3 + 2 \cdot 7 \cdot 3 = 70 + 30 + 42 = 142 $$

142 кубика имеет одну окрашенную грань.

Ответ: a) 8, б) 60, в) 142