355. Прямые AB и AC касаются окружности с центром O в точках B и C. Найдите BC, если \(\angle OAB = 30^{\circ}\), AB = 5 см.

Так как AB и AC - касательные к окружности с центром O в точках B и C, то OB и OC - радиусы, проведенные в точки касания. Следовательно, \(\angle OBA = \angle OCA = 90^{\circ}\). Рассмотрим прямоугольный треугольник OAB. В нем известны \(\angle OAB = 30^{\circ}\) и AB = 5 см. Найдем длину катета OB (радиус окружности), противолежащего углу \(\angle OAB\). Используем тангенс угла \(\angle OAB\): \(\tan(\angle OAB) = \frac{OB}{AB}\) \(\tan(30^{\circ}) = \frac{OB}{5}\) \(OB = 5 \cdot \tan(30^{\circ}) = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3}\). Так как OB и OC - радиусы, то OB = OC = \(\frac{5\sqrt{3}}{3}\). Рассмотрим четырехугольник ABOC. Сумма его углов равна 360 градусам. \(\angle OBA + \angle OCA + \angle BOC + \angle BAC = 360^{\circ}\) \(90^{\circ} + 90^{\circ} + \angle BOC + \angle BAC = 360^{\circ}\) \(\angle BOC + \angle BAC = 180^{\circ}\) \(\angle BAC = 180^{\circ} - \angle BOC\) В прямоугольном треугольнике OAB угол \(\angle AOB = 90^{\circ} - \angle OAB = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}\). Аналогично, в прямоугольном треугольнике OAC угол \(\angle AOC = 60^{\circ}\). Тогда \(\angle BOC = \angle AOB + \angle AOC = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ}\). Теперь рассмотрим треугольник BOC. Он равнобедренный, так как OB = OC (радиусы). Угол \(\angle BOC = 120^{\circ}\). Тогда углы \(\angle OBC = \angle OCB = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}\). Найдем BC по теореме косинусов: \(BC^2 = OB^2 + OC^2 - 2 \cdot OB \cdot OC \cdot \cos(\angle BOC)\) \(BC^2 = (\frac{5\sqrt{3}}{3})^2 + (\frac{5\sqrt{3}}{3})^2 - 2 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{5\sqrt{3}}{3} \cdot \cos(120^{\circ})\) \(BC^2 = \frac{25 \cdot 3}{9} + \frac{25 \cdot 3}{9} - 2 \cdot \frac{25 \cdot 3}{9} \cdot (-\frac{1}{2})\) \(BC^2 = \frac{75}{9} + \frac{75}{9} + \frac{75}{9} = \frac{225}{9} = 25\) \(BC = \sqrt{25} = 5\). Ответ: BC = 5 см