4*. Прямые AB и CD пересекаются в точке O. OK – биссектриса угла AOD, ∠COK = 118°. Найдите ∠BOD.

Так как OK – биссектриса угла AOD, то \[∠AOK = ∠DOK\] Известно, что \[∠COK = 118°\] Угол COK состоит из углов COA и AOK, значит: \[∠COK = ∠COA + ∠AOK\] Прямые AB и CD пересекаются, следовательно, углы COA и BOD – вертикальные и равны: \[∠COA = ∠BOD\] Углы AOD и COA – смежные, поэтому их сумма равна 180°: \[∠AOD + ∠COA = 180°\] Так как OK – биссектриса угла AOD, то \[∠AOD = 2 cdot ∠AOK\] Выразим ∠AOK из уравнения для ∠COK: \[∠AOK = ∠COK - ∠COA = 118° - ∠COA\] Подставим это выражение в уравнение для ∠AOD: \[∠AOD = 2 cdot (118° - ∠COA)\] Теперь подставим это в уравнение для смежных углов AOD и COA: \[2 cdot (118° - ∠COA) + ∠COA = 180°\] Раскроем скобки и упростим: \[236° - 2 cdot ∠COA + ∠COA = 180°\] \[236° - ∠COA = 180°\] \[∠COA = 236° - 180°\] \[∠COA = 56°\] Так как ∠COA = ∠BOD: \[∠BOD = 56°\] Ответ: ∠BOD = 56°