Решение задачи 643

Поскольку AB и AC касаются окружности с центром O в точках B и C, отрезки OB и OC являются радиусами, и OB ⊥ AB, OC ⊥ AC.

Таким образом, углы OBA и OCA прямые, т.е. ∠OBA = ∠OCA = 90°.

В прямоугольном треугольнике OAB дано ∠OAB = 30° и AB = 5 см.

Найдём OB (радиус окружности):

$$\tan(\angle OAB) = \frac{OB}{AB}$$

$$\tan(30°) = \frac{OB}{5}$$

$$OB = 5 \tan(30°) = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$$

Итак, OB = OC = $$\frac{5\sqrt{3}}{3}$$

Рассмотрим четырёхугольник ABOC. Сумма углов в четырёхугольнике равна 360°.

∠BOC = 360° - ∠OBA - ∠OCA - ∠BAC = 360° - 90° - 90° - (180° - 2*30°) = 360° - 180° - 120° = 60°

В треугольнике BOC OB = OC, следовательно, он равнобедренный. Так как ∠BOC = 60°, то треугольник BOC равносторонний.

Следовательно, BC = OB = OC = $$\frac{5\sqrt{3}}{3}$$

Ответ: $$BC = \frac{5\sqrt{3}}{3} \text{ см}$$