7. Пусть х₁ и х₂ — корши уравнения х²-9x-17=0. Не решая уравнения: 1) найдите значение выражения: а) + ; в) (x₁-x₂)²; д) x₁+x₂; б) x²+x²; г) +;

7. Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2-9x-17=0$$. Не решая уравнения:

1) найдите значение выражения:

а) $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$$

Преобразуем выражение:

$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}$$

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=9$$

$$x_1x_2=-17$$

Тогда:

$$\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}=\frac{9}{-17}=-\frac{9}{17}$$

в) $$(x_1-x_2)^2$$

Преобразуем выражение:

$$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$$

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=9$$

$$x_1x_2=-17$$

Тогда:

$$(x_1-x_2)^2=9^2-4(-17)=81+68=149$$

д) $$x_1^3+x_2^3$$

Преобразуем выражение:

$$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)=(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2)$$

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=9$$

$$x_1x_2=-17$$

Тогда:

$$x_1^3+x_2^3=9(9^2-3(-17))=9(81+51)=9 \cdot 132 = 1188$$

б) $$x_1^2+x_2^2$$

Преобразуем выражение:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=9$$

$$x_1x_2=-17$$

Тогда:

$$x_1^2+x_2^2=9^2-2(-17)=81+34=115$$

г) $$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}$$

Преобразуем выражение:

$$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$$

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=9$$

$$x_1x_2=-17$$

Тогда:

$$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{9^2-2(-17)}{-17}=\frac{81+34}{-17}=\frac{115}{-17}=-\frac{115}{17}$$

Ответ: a) -9/17; в) 149; д) 1188; б) 115; г) -115/17