Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 24√2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Решение:

Пусть \( R \) — радиус описанной окружности, а \( r \) — радиус вписанной окружности. Пусть \( a \) — сторона квадрата.

Диагональ квадрата \( d \) равна диаметру описанной окружности: \( d = 2R \).

По теореме Пифагора, диагональ квадрата связана со стороной: \( d = a\sqrt{2} \).

Следовательно, \( a\sqrt{2} = 2R \).

Нам дано, что \( R = 24\sqrt{2} \). Подставим это значение:

\( a\sqrt{2} = 2 \cdot 24\sqrt{2} \)

\( a\sqrt{2} = 48\sqrt{2} \)

Разделим обе части на \( \sqrt{2} \):

\( a = 48 \).

Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата: \( r = \frac{a}{2} \).

\( r = \frac{48}{2} \)

\( r = 24 \).

Ответ: 24.