5. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен $$8\sqrt{2}$$ см, а радиус вписанной в него окружности — 8 см. Найдите: 1) сторону многоугольника; 2) количество сторон многоугольника.

Пусть n - количество сторон правильного многоугольника, a - его сторона, R - радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности. Тогда: $$R = \frac{a}{2\sin(\frac{\pi}{n})}$$ $$r = \frac{a}{2\tan(\frac{\pi}{n})}$$ Разделим первое уравнение на второе: $$\frac{R}{r} = \frac{\tan(\frac{\pi}{n})}{\sin(\frac{\pi}{n})} = \frac{\frac{\sin(\frac{\pi}{n})}{\cos(\frac{\pi}{n})}}{\sin(\frac{\pi}{n})} = \frac{1}{\cos(\frac{\pi}{n})}$$ $$\cos(\frac{\pi}{n}) = \frac{r}{R} = \frac{8}{8\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\frac{\pi}{n} = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$$ $$n = 4$$ Многоугольник - квадрат. Теперь найдем сторону квадрата: $$R = \frac{a}{2\sin(\frac{\pi}{4})} = \frac{a}{2\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$$ $$a = R\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 8 \cdot 2 = 16$$ см Ответ: 1) 16 см; 2) 4