Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен $$7\sqrt{2}$$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине стороны квадрата. Пусть сторона квадрата равна \( a \), а радиус вписанной окружности \( r_{in} \).

\( r_{in} = \frac{a}{2} \)

Нам дано, что \( r_{in} = 7\sqrt{2} \). Следовательно:

\[ \frac{a}{2} = 7\sqrt{2} \]
\[ a = 2 \cdot 7\sqrt{2} = 14\sqrt{2} \]

Радиус описанной около квадрата окружности \( r_{out} \) равен половине диагонали квадрата.

Диагональ квадрата \( d \) находится по теореме Пифагора: \( d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \), значит \( d = a\sqrt{2} \).

Подставим значение стороны \( a = 14\sqrt{2} \):

\[ d = 14\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 14 \cdot 2 = 28 \]

Теперь найдем радиус описанной окружности:

\[ r_{out} = \frac{d}{2} = \frac{28}{2} = 14 \]

Ответ: 14.