Радиус основания конуса равен 20 см, образующая – 20,5 см. Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии 1,5 см от его вершины. Найдите радиус полученного сечения, объем и площадь полной поверхности конуса.

Решение:

1. Найдём высоту конуса (H) по теореме Пифагора: \( H = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{(20.5)^2 - 20^2} = \sqrt{420.25 - 400} = \sqrt{20.25} = 4.5 \) см.
2. Найдём радиус сечения (r). Так как плоскость параллельна основанию, то маленький конус подобен большому. Отношение высот равно отношению радиусов: \( \frac{r}{R} = \frac{h}{H} \), где \( h = 1.5 \) см (расстояние от вершины до сечения).
3. \( r = R \cdot \frac{h}{H} = 20 \cdot \frac{1.5}{4.5} = 20 \cdot \frac{1}{3} = \frac{20}{3} \) см.
4. Объем большого конуса (V): \( V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi (20)^2 (4.5) = \frac{1}{3} \pi (400) (4.5) = 600 \pi \) см³.
5. Объем малого конуса (v): \( v = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (\frac{20}{3})^2 (1.5) = \frac{1}{3} \pi \frac{400}{9} (1.5) = \frac{200 \pi}{9} \) см³.
6. Площадь полной поверхности большого конуса (S): \( S = \pi R (R + l) = \pi \cdot 20 (20 + 20.5) = \pi \cdot 20 (40.5) = 810 \pi \) см².
7. Площадь полной поверхности малого конуса (s): Сначала найдем образующую малого конуса (l'): \( l' = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(\frac{20}{3})^2 + (1.5)^2} = \sqrt{\frac{400}{9} + 2.25} = \sqrt{\frac{400}{9} + \frac{81}{36}} = \sqrt{\frac{1600+81}{36}} = \sqrt{\frac{1681}{36}} = \frac{41}{6} \) см.
8. \( s = \pi r (r + l') = \pi \frac{20}{3} (\frac{20}{3} + \frac{41}{6}) = \pi \frac{20}{3} (\frac{40+41}{6}) = \pi \frac{20}{3} \frac{81}{6} = \frac{1620 \pi}{18} = 90 \pi \) см².

Ответ: Радиус сечения равен \( \frac{20}{3} \) см, объем большого конуса \( 600 \pi \) см³, площадь полной поверхности большого конуса \( 810 \pi \) см².