5. Рассчитайте, во сколько раз уменьшится скорость атома гелия после центрального упругого столкновения с неподвижным атомом водорода, масса которого в 4 раза меньше массы атома гелия. 6. Брусок массой 1 кг соскальзывает без начальной скорости с вершины наклонной плоскости высотой 1 м и останавливается. Какую работу нужно совершить, чтобы по тому же пути втащить брусок на вершину наклонной плоскости?

5. Пусть $$m_1$$ - масса атома гелия, $$m_2$$ - масса атома водорода. Из условия, $$m_2 = \frac{1}{4}m_1$$. Пусть $$v_1$$ - начальная скорость атома гелия, $$v_2 = 0$$ - начальная скорость атома водорода. После столкновения скорости атомов гелия и водорода будут $$u_1$$ и $$u_2$$, соответственно. Запишем законы сохранения импульса и энергии для упругого столкновения:

$$m_1v_1 + m_2v_2 = m_1u_1 + m_2u_2$$

$$\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}m_1u_1^2 + \frac{1}{2}m_2u_2^2$$

Так как $$v_2 = 0$$, уравнения упрощаются:

$$m_1v_1 = m_1u_1 + m_2u_2$$

$$\frac{1}{2}m_1v_1^2 = \frac{1}{2}m_1u_1^2 + \frac{1}{2}m_2u_2^2$$

Выразим $$u_2$$ из первого уравнения: $$u_2 = \frac{m_1(v_1 - u_1)}{m_2}$$.

Подставим это во второе уравнение и учтем, что $$m_2 = \frac{1}{4}m_1$$:

$$m_1v_1^2 = m_1u_1^2 + \frac{1}{4}m_1 \cdot \frac{m_1^2(v_1 - u_1)^2}{(\frac{1}{4}m_1)^2}$$

Упростим:

$$v_1^2 = u_1^2 + 4(v_1 - u_1)^2$$

$$v_1^2 = u_1^2 + 4(v_1^2 - 2v_1u_1 + u_1^2)$$

$$0 = 3v_1^2 - 8v_1u_1 + 5u_1^2$$

Разделим на $$v_1^2$$:

$$5(\frac{u_1}{v_1})^2 - 8(\frac{u_1}{v_1}) + 3 = 0$$

Пусть $$x = \frac{u_1}{v_1}$$. Тогда $$5x^2 - 8x + 3 = 0$$. Решим квадратное уравнение:

$$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{10} = \frac{8 \pm 2}{10}$$

$$x_1 = 1, \quad x_2 = 0.6$$

Если $$x = 1$$, то $$u_1 = v_1$$, что означает отсутствие столкновения (неинтересный случай). Поэтому, $$x = 0.6$$.

Таким образом, скорость атома гелия уменьшится в $$\frac{1}{0.6} = \frac{5}{3} \approx 1.67$$ раза.

6. Когда брусок соскальзывает вниз, часть потенциальной энергии переходит в работу против силы трения. Когда брусок втаскивают обратно, необходимо совершить работу против силы тяжести и против силы трения. Так как брусок останавливается в конце пути, то работа силы трения равна разности потенциальной энергии бруска в начале и в конце движения.

Работа силы тяжести при подъеме на высоту 1 м: $$A_g = mgh = 1 \cdot 9.8 \cdot 1 = 9.8 \text{ Дж}$$.

Пусть работа против силы трения равна $$A_{тр}$$. Тогда общая работа при втаскивании бруска на вершину:

$$A = A_g + A_{тр}$$. При соскальзывании, $$A_{тр} = mgh$$, так как брусок останавливается.

$$A = 2mgh = 2 \cdot 1 \cdot 9.8 \cdot 1 = 19.6 \text{ Дж}$$

Ответ: 5. ≈ 1.67 раза. 6. 19.6 Дж