16. Расстояние между пристанями А и В равно 45 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 28 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения рек 4 км/ч.

Дано:

S (расстояние между А и В) = 45 км

v_теч (скорость течения) = 4 км/ч

S_плота (расстояние, которое проплыл плот) = 28 км

t_задержки (задержка лодки) = 1 час

Найти: v_лодки (скорость лодки в неподвижной воде)

Решение:

Время, которое плот был в пути:

\[ t_{плота} = \frac{S_{плота}}{v_{теч}} = \frac{28}{4} = 7 \] часов

Время, которое лодка была в пути:

\[ t_{лодки} = t_{плота} - t_{задержки} = 7 - 1 = 6 \] часов

Пусть v - скорость лодки в неподвижной воде. Тогда скорость лодки по течению v + v_теч, а против течения v - v_теч.

Время, которое лодка плыла по течению:

\[ t_{по течению} = \frac{S}{v + v_{теч}} = \frac{45}{v + 4} \]

Время, которое лодка плыла против течения:

\[ t_{против течения} = \frac{S}{v - v_{теч}} = \frac{45}{v - 4} \]

Общее время, которое лодка была в пути:

\[ t_{лодки} = t_{по течению} + t_{против течения} \]

\[ 6 = \frac{45}{v + 4} + \frac{45}{v - 4} \]

Решим уравнение:

\[ 6 = 45 \cdot (\frac{1}{v + 4} + \frac{1}{v - 4}) \]

\[ 6 = 45 \cdot (\frac{v - 4 + v + 4}{(v + 4)(v - 4)}) \]

\[ 6 = 45 \cdot \frac{2v}{v^2 - 16} \]

\[ 6(v^2 - 16) = 90v \]

\[ 6v^2 - 96 = 90v \]

\[ 6v^2 - 90v - 96 = 0 \]

\[ v^2 - 15v - 16 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289 \]

\[ v = \frac{-(-15) \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{15 \pm 17}{2} \]

\[ v_1 = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16 \]

\[ v_2 = \frac{15 - 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Так как скорость не может быть отрицательной, то v = 16 км/ч.

Ответ: 16 км/ч