Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 18, а одна из диагоналей ромба равна 72. Найдите углы ромба.

Точка пересечения диагоналей ромба — его центр. Расстояние от центра до стороны равно половине высоты, поэтому высота ромба равна \(2\cdot18=36\).

Площадь через диагонали равна \(S=\dfrac{d_1d_2}{2}\), а через сторону и высоту — \(S=ah\). Поскольку диагональ 72, имеем \(S=36d\), где \(d\) — вторая диагональ, а также \(S=36a\), где \(a\) — сторона. Следовательно, \(a=d\).

Для диагоналей ромба выполняется \(a^2=(72/2)^2+(d/2)^2\). Подставив \(a=d\), получаем \(d^2=36^2+d^2/4\), откуда \(d=\dfrac{72}{\sqrt3}\).

Диагонали ромба делят его углы пополам и перпендикулярны. Для половины острого угла \(\alpha/2\): \(\tan(\alpha/2)=d/72=1/\sqrt3\). Значит, \(\alpha/2=30^\circ\), а острый угол равен \(60^\circ\). Смежный с ним угол равен \(120^\circ\).

Ответ: углы ромба — \(60^\circ\) и \(120^\circ\).