Равнобедренную трапецию ABCD со сторонами 7, 7, 7 и 17 вращают вокруг её большего основания. Найдите объём полученного тела вращения. В ответ запишите значение выражения \(\frac{\pi}{7}\).

1. Шаг 1: Найдем высоту трапеции: Опустим высоты из вершин B и C на основание AD. Получим два равных прямоугольных треугольника и прямоугольник. Отрезок AH равен: \[AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{17 - 7}{2} = 5\] По теореме Пифагора: \[h = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{7^2 - 5^2} = \sqrt{49 - 25} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\]
2. Шаг 2: Найдем объем цилиндра: Радиус цилиндра равен высоте трапеции, а высота цилиндра равна меньшему основанию трапеции. Тогда: \[V_{цил} = \pi r^2 h = \pi \cdot (2\sqrt{6})^2 \cdot 7 = \pi \cdot 24 \cdot 7 = 168\pi\]
3. Шаг 3: Найдем объем конуса: Радиус конуса равен высоте трапеции, а высота конуса равна AH. Тогда: \[V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot (2\sqrt{6})^2 \cdot 5 = \frac{1}{3} \pi \cdot 24 \cdot 5 = 40\pi\]
4. Шаг 4: Найдем объем тела вращения: \[V = V_{цил} - 2V_{конуса} = 168\pi - 2 \cdot 40\pi = 168\pi - 80\pi = 88\pi\]
5. Шаг 5: Найдем значение выражения \(\frac{V}{\pi}\): \[\frac{V}{\pi} = \frac{88\pi}{7} = \frac{88}{7}\]

Ответ: 88