Равносильны ли следующие неравенства: 1) $2x-1\ge2$ и $2(x-1)\ge1$; 2) $(x-1)(x+2)<0$ и $x^2+x<2$; 3) $(x-2)(x+1)<3x+3$ и $x-2<3$; 4) $x(x+3)\ge2x$ и $x^2(x+3)\ge2x^2$?

Question

Вопрос: $Фото задания: Равносильны ли следующие неравенства: 1) $2x-1\ge2$ и $2(x-1)\ge1$; 2) $(x-1)(x+2)<0$ и $x^2+x<2$; 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

Из $2x-1\ge2$ получаем $x\ge frac32$. Из $2(x-1)\ge1$ также получаем $x\ge frac32$. Неравенства равносильны.
Первое неравенство выполняется между корнями $-2$ и $1$: \(-2
Раскрываем скобки и переносим всё влево: $x^2-x-2<3x+3$, то есть $x^2-4x-5<0$. Разложение $(x+1)(x-5)<0$ даёт \(-1
Первое неравенство после переноса слагаемых принимает вид $x^2+x\ge0$, или $x(x+1)\ge0$. Его решение: $x\le-1$ или $x\ge0$. Второе принимает вид $x^2(x+1)\ge0$. Так как $x^2\ge0$, оно выполняется при $x=-1$ и при всех $x\ge-1$, то есть при $x\ge-1$. Множества решений различны — неравенства неравносильны.

Ответ: 1) равносильны; 2) равносильны; 3) неравносильны; 4) неравносильны.

Равносильны ли следующие неравенства: 1) \(2x-1\ge2\) и \(2(x-1)\ge1\); 2) \((x-1)(x+2)<0\) и \(x^2+x<2\); 3) \((x-2)(x+1)<3x+3\) и \(x-2<3\); 4) \(x(x+3)\ge2x\) и \(x^2(x+3)\ge2x^2\)?