Равносторонний треугольник EFD вписан в окружность с центром в точке O. В круге, ограниченном этой окружностью, наугад выбирают точку. Чему равна вероятность того, что эта точка окажется вне треугольника EOD?

Пусть (S_{\text{окр}}) — площадь круга, а (S_{\text{тр}}) — площадь равностороннего треугольника EFD, вписанного в этот круг. Тогда вероятность того, что случайно выбранная точка в круге окажется вне треугольника, равна отношению разности площади круга и площади треугольника к площади круга:

$$P = \frac{S_{\text{окр}} - S_{\text{тр}}}{S_{\text{окр}}} = 1 - \frac{S_{\text{тр}}}{S_{\text{окр}}}$$

Известно, что площадь равностороннего треугольника, вписанного в окружность радиуса R, составляет $$\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$$, а площадь круга равна $$\pi R^2$$. Таким образом, отношение площади треугольника к площади круга равно:

$$\frac{S_{\text{тр}}}{S_{\text{окр}}} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2}{\pi R^2} = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$$

Тогда вероятность того, что точка окажется вне треугольника, равна:

$$P = 1 - \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$$

Ответ: Вероятность равна $$1 - \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$$