2*. Равные углы ВАС и ACD отложены по разные стороны от прямой АС (см. рисунок). Докажите, что BC = AD, если АВ = CD.

Для доказательства равенства BC = AD при условии AB = CD и равенстве углов BAC и ACD, рассмотрим треугольники ABC и CDA.

По условию, угол BAC равен углу ACD.

Сторона AC является общей для обоих треугольников.

Также, по условию, AB = CD.

Таким образом, у нас есть два треугольника, у которых две стороны и угол между ними одного треугольника, соответственно, равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника (AB = CD, AC - общая, ∠BAC = ∠ACD).

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники ABC и CDA равны.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон. Значит, сторона BC треугольника ABC равна стороне AD треугольника CDA.

Следовательно, BC = AD.