145. Разложите на множители: 1) a² – 2ab + b² – 25; 2) x² – 16b² + 8bc – c²; 3) a³x² - ax – 4a³ – 2a; 4) a³ – 27 + a² – 3а; 5) b¹⁰ – 25b⁸ – 40b⁴ – 16; 6) 8a³ – 27b³ + 4a² - 12ab + 9b²; 7) 4x² – 12xy + 9y² - 4a² + 4ab – b²; 8) x² – y² – 6x + 9.

Решение:

1. 1) \( a^2 - 2ab + b^2 - 25 \)

   Это выражение можно переписать как \( (a - b)^2 - 5^2 \). Теперь используем формулу разности квадратов: \( (a - b - 5)(a - b + 5) \).

   Ответ: \( (a - b - 5)(a - b + 5) \)

2. 2) \( x^2 - 16b^2 + 8bc - c^2 \)

   Перегруппируем члены: \( x^2 - (16b^2 - 8bc + c^2) \). Заметим, что в скобках полный квадрат: \( x^2 - (4b - c)^2 \). Используем формулу разности квадратов: \( (x - (4b - c))(x + (4b - c)) = (x - 4b + c)(x + 4b - c) \).

   Ответ: \( (x - 4b + c)(x + 4b - c) \)

3. 3) \( a^3x^2 - ax - 4a^3 - 2a \)

   Вынесем общий множитель \( a \) за скобки: \( a(a^2x^2 - x - 4a^2 - 2) \).

   Сгруппируем члены: \( a((a^2x^2 - 4a^2) - (x + 2)) \) = \( a(a^2(x^2 - 4) - (x + 2)) \).

   Разложим разность квадратов: \( a(a^2(x - 2)(x + 2) - (x + 2)) \) = \( a((x + 2)(a^2(x - 2) - 1)) = a(x + 2)(a^2x - 2a^2 - 1) \).

   Ответ: \( a(x + 2)(a^2x - 2a^2 - 1) \)

4. 4) \( a^3 - 27 + a^2 - 3a \)

   Запишем как \( (a^3 - 27) + (a^2 - 3a) = (a - 3)(a^2 + 3a + 9) + a(a - 3) \).

   Вынесем общий множитель \( (a - 3) \) за скобки: \( (a - 3)(a^2 + 3a + 9 + a) = (a - 3)(a^2 + 4a + 9) \).

   Ответ: \( (a - 3)(a^2 + 4a + 9) \)

5. 5) \( b^{10} - 25b^8 - 40b^4 - 16 \)

   Представим как разность квадратов: \( (b^5)^2 - (5b^4)^2 - 2 \cdot 5b^4 \cdot 4 - 4^2 \) = \( (b^5)^2 - (5b^4 + 4)^2 \).

   Применим формулу разности квадратов: \( (b^5 - 5b^4 - 4)(b^5 + 5b^4 + 4) \).

   Ответ: \( (b^5 - 5b^4 - 4)(b^5 + 5b^4 + 4) \)

6. 6) \( 8a^3 - 27b^3 + 4a^2 - 12ab + 9b^2 \)

   Представим первые два члена как разность кубов: \( (2a - 3b)(4a^2 + 6ab + 9b^2) + (4a^2 - 12ab + 9b^2) \).

   Вторые три члена — это полный квадрат: \( (2a - 3b)(4a^2 + 6ab + 9b^2) + (2a - 3b)^2 \).

   Вынесем общий множитель \( (2a - 3b) \) за скобки: \( (2a - 3b)(4a^2 + 6ab + 9b^2 + 2a - 3b) \).

   Ответ: \( (2a - 3b)(4a^2 + 6ab + 9b^2 + 2a - 3b) \)

7. 7) \( 4x^2 - 12xy + 9y^2 - 4a^2 + 4ab - b^2 \)

   Первые три члена — это полный квадрат: \( (2x - 3y)^2 - (4a^2 - 4ab + b^2) \).

   Вторые три члена — это тоже полный квадрат: \( (2x - 3y)^2 - (2a - b)^2 \).

   Применим формулу разности квадратов: \( (2x - 3y - (2a - b))(2x - 3y + (2a - b)) = (2x - 3y - 2a + b)(2x - 3y + 2a - b) \).

   Ответ: \( (2x - 3y - 2a + b)(2x - 3y + 2a - b) \)

8. 8) \( x^2 - y^2 - 6x + 9 \)

   Перегруппируем члены: \( (x^2 - 6x + 9) - y^2 = (x - 3)^2 - y^2 \).

   Применим формулу разности квадратов: \( (x - 3 - y)(x - 3 + y) \).

   Ответ: \( (x - 3 - y)(x - 3 + y) \)