146. Решите уравнение: 1) 7x³ – 63x = 0; 2) 49x³ – 14x² + x = 0; 3) x³ – 5x² – x + 5 = 0; 4) x³ – 3x² – 4x + 12 = 0; 5) x⁴ + 2x³ + 8x + 16 = 0; 6) x⁵ – 4x⁴ + 4x³ - x² + 4x - 4 = 0.

Решение:

1. 1) \( 7x^3 - 63x = 0 \)

   Вынесем \( 7x \) за скобки: \( 7x(x^2 - 9) = 0 \).

   Разложим разность квадратов: \( 7x(x - 3)(x + 3) = 0 \).

   Корни: \( x = 0, x = 3, x = -3 \).

   Ответ: \( x = 0, 3, -3 \)

2. 2) \( 49x^3 - 14x^2 + x = 0 \)

   Вынесем \( x \) за скобки: \( x(49x^2 - 14x + 1) = 0 \).

   В скобках полный квадрат: \( x(7x - 1)^2 = 0 \).

   Корни: \( x = 0, x = \frac{1}{7} \).

   Ответ: \( x = 0, \frac{1}{7} \)

3. 3) \( x^3 - 5x^2 - x + 5 = 0 \)

   Сгруппируем члены: \( x^2(x - 5) - (x - 5) = 0 \).

   Вынесем \( (x - 5) \) за скобки: \( (x - 5)(x^2 - 1) = 0 \).

   Разложим разность квадратов: \( (x - 5)(x - 1)(x + 1) = 0 \).

   Корни: \( x = 5, x = 1, x = -1 \).

   Ответ: \( x = 5, 1, -1 \)

4. 4) \( x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0 \)

   Сгруппируем члены: \( x^2(x - 3) - 4(x - 3) = 0 \).

   Вынесем \( (x - 3) \) за скобки: \( (x - 3)(x^2 - 4) = 0 \).

   Разложим разность квадратов: \( (x - 3)(x - 2)(x + 2) = 0 \).

   Корни: \( x = 3, x = 2, x = -2 \).

   Ответ: \( x = 3, 2, -2 \)

5. 5) \( x^4 + 2x^3 + 8x + 16 = 0 \)

   Сгруппируем члены: \( x^3(x + 2) + 8(x + 2) = 0 \).

   Вынесем \( (x + 2) \) за скобки: \( (x + 2)(x^3 + 8) = 0 \).

   Разложим сумму кубов: \( (x + 2)(x + 2)(x^2 - 2x + 4) = 0 \).

   Первый корень: \( x = -2 \). Второй корень также \( x = -2 \). Квадратное уравнение \( x^2 - 2x + 4 = 0 \) не имеет действительных корней, т.к. дискриминант отрицательный: \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0 \).

   Ответ: \( x = -2 \)

6. 6) \( x^5 - 4x^4 + 4x^3 - x^2 + 4x - 4 = 0 \)

   Сгруппируем члены: \( x^3(x^2 - 4x + 4) - (x^2 - 4x + 4) = 0 \).

   Вынесем \( (x^2 - 4x + 4) \) за скобки: \( (x^2 - 4x + 4)(x^3 - 1) = 0 \).

   Разложим квадрат и куб: \( (x - 2)^2 (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0 \).

   Первый корень: \( x = 2 \). Второй корень: \( x = 1 \). Квадратное уравнение \( x^2 + x + 1 = 0 \) не имеет действительных корней, т.к. дискриминант отрицательный: \( D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0 \).

   Ответ: \( x = 2, 1 \)