1. Разложите на множители квадратный трехчлен: a) x² + 10x - 24 б) 3x² - 11x + 6

Разложим квадратный трехчлен на множители. Для этого необходимо решить квадратное уравнение и представить трехчлен в виде произведения:

$$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$$, где $$x_1$$ и $$x_2$$ – корни квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0$$.

• а) $$x^2 + 10x - 24$$ Решим уравнение $$x^2 + 10x - 24=0$$.

  Найдем дискриминант по формуле $$D = b^2 - 4ac$$:

  $$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196$$

  Дискриминант больше нуля, следовательно, уравнение имеет два корня. Найдем их по формулам:

  $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 14}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 14}{2} = \frac{-24}{2} = -12$$

  Тогда разложение на множители имеет вид:

  $$x^2 + 10x - 24 = (x - 2)(x + 12)$$
• б) $$3x^2 - 11x + 6$$ Решим уравнение $$3x^2 - 11x + 6=0$$.

  Найдем дискриминант по формуле $$D = b^2 - 4ac$$:

  $$D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 121 - 72 = 49$$

  Дискриминант больше нуля, следовательно, уравнение имеет два корня. Найдем их по формулам:

  $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{11 + 7}{6} = \frac{18}{6} = 3$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{11 - 7}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

  Тогда разложение на множители имеет вид:

  $$3x^2 - 11x + 6 = 3(x - 3)(x - \frac{2}{3}) = (x - 3)(3x - 2)$$

Ответ: a) $$(x - 2)(x + 12)$$; б) $$(x - 3)(3x - 2)$$