2. Решите уравнение: a) x⁴ - 24x² - 25 = 0 б) x²+5x / x-1 = 6 / x-1

• а) $$x^4 - 24x^2 - 25 = 0$$

  Пусть $$t = x^2$$, тогда уравнение примет вид:

  $$t^2 - 24t - 25 = 0$$

  Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $$D = b^2 - 4ac$$:

  $$D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 576 + 100 = 676$$

  Дискриминант больше нуля, следовательно, уравнение имеет два корня. Найдем их по формулам:

  $$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 + \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{24 + 26}{2} = \frac{50}{2} = 25$$ $$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 - \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{24 - 26}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

  Тогда:

  $$x^2 = 25 \Rightarrow x = \pm 5$$ $$x^2 = -1$$ - нет решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.
• б) $$\frac{x^2+5x}{x-1} = \frac{6}{x-1}$$

  Умножим обе части уравнения на $$x-1$$:

  $$x^2 + 5x = 6$$ $$x^2 + 5x - 6 = 0$$

  Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $$D = b^2 - 4ac$$:

  $$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$$

  Дискриминант больше нуля, следовательно, уравнение имеет два корня. Найдем их по формулам:

  $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$

  Проверим найденные корни. При $$x=1$$ знаменатель $$x-1$$ обращается в ноль, следовательно, $$x=1$$ не является корнем уравнения.

  При $$x=-6$$ знаменатель $$x-1=-7$$ не обращается в ноль, следовательно, $$x=-6$$ является корнем уравнения.

Ответ: а) $$x = \pm 5$$; б) $$x = -6$$