617. Разложите на множители квадратный трехчлен: a) 3x² - 24x + 21; б) 5z² + 10z - 15; в) 1/6 x² + 1/2 x + 1/3;

a) 3x² - 24x + 21 = 3(x² - 8x + 7) = 3(x - 1)(x - 7)

Решение:

1. Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$$3x^2 - 24x + 21 = 3(x^2 - 8x + 7)$$.

2. Найдем корни квадратного трехчлена x² - 8x + 7: $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$$ $$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 6}{2} = 7$$ $$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 6}{2} = 1$$
3. Разложим квадратный трехчлен на множители:

$$x^2 - 8x + 7 = (x - 7)(x - 1)$$.

4. Подставим разложение в исходное выражение:

$$3(x^2 - 8x + 7) = 3(x - 1)(x - 7)$$.

Ответ: $$3(x - 1)(x - 7)$$.

б) 5z² + 10z - 15 = 5(z² + 2z - 3) = 5(z - 1)(z + 3)

Решение:

1. Вынесем общий множитель 5 за скобки:

$$5z^2 + 10z - 15 = 5(z^2 + 2z - 3)$$.

2. Найдем корни квадратного трехчлена z² + 2z - 3: $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$ $$z_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = 1$$ $$z_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = -3$$
3. Разложим квадратный трехчлен на множители:

$$z^2 + 2z - 3 = (z - 1)(z + 3)$$.

4. Подставим разложение в исходное выражение:

$$5(z^2 + 2z - 3) = 5(z - 1)(z + 3)$$.

Ответ: $$5(z - 1)(z + 3)$$.

в) 1/6 x² + 1/2 x + 1/3 = 1/6 (x² + 3x + 2) = 1/6 (x + 1)(x + 2)

Решение:

1. Вынесем общий множитель 1/6 за скобки:

$$\frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{3} = \frac{1}{6}(x^2 + 3x + 2)$$.

2. Найдем корни квадратного трехчлена x² + 3x + 2: $$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$$ $$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 1}{2} = -2$$
3. Разложим квадратный трехчлен на множители:

$$x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$$.

4. Подставим разложение в исходное выражение:

$$\frac{1}{6}(x^2 + 3x + 2) = \frac{1}{6}(x + 1)(x + 2)$$.

Ответ: $$\frac{1}{6}(x + 1)(x + 2)$$.