619. Разложите на множители квадратный трёхчлен: a) 2x² + 12x - 14; б) -m² + 5m - 6; г) 6x² - 13x + 6.

Для разложения квадратного трехчлена на множители необходимо решить квадратное уравнение, приравняв трехчлен к нулю. Если корни уравнения $$x_1$$ и $$x_2$$ найдены, то разложение имеет вид $$a(x - x_1)(x - x_2)$$, где $$a$$ - коэффициент при $$x^2$$.

a)

Решим уравнение $$2x^2 + 12x - 14 = 0$$.

Разделим обе части на 2: $$x^2 + 6x - 7 = 0$$.

Вычислим дискриминант: $$D = (6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$$.

Найдем корни: $$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$$, $$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 8}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$.

Разложение: $$2(x - 1)(x + 7)$$.

Ответ: $$2(x - 1)(x + 7)$$.

б)

Решим уравнение $$-m^2 + 5m - 6 = 0$$.

Умножим обе части на -1: $$m^2 - 5m + 6 = 0$$.

Вычислим дискриминант: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$.

Найдем корни: $$m_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$$, $$m_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$$.

Разложение: $$-(m - 3)(m - 2)$$.

Или $$ (3-m)(m-2) $$.

Ответ: $$(3-m)(m-2)$$.

г)

Решим уравнение $$6x^2 - 13x + 6 = 0$$.

Вычислим дискриминант: $$D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25$$.

Найдем корни: $$x_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{13 + 5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$$, $$x_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{13 - 5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$$.

Разложение: $$6(x - \frac{3}{2})(x - \frac{2}{3})$$.

Или $$ (2x - 3)(3x - 2) $$.

Ответ: $$(2x - 3)(3x - 2)$$.