617. Разложите на множители квадратный трёхчлен: a) 3x² - 24x + 21; б) 5z² + 10z - 15; в) 1/3x² + 1/3x + 1/3; г) x² - 12x + 20; д) -y² + 16y - 15; e) -t² - 8t + 9; ж) 2x² - 5x; з) 5y² + 2y -; и) -2n² + 5n、

a) Разложим квадратный трехчлен 3x² - 24x + 21 на множители. Сначала вынесем общий множитель 3 за скобки: 3(x² - 8x + 7). Теперь разложим квадратный трехчлен x² - 8x + 7. Найдем корни уравнения x² - 8x + 7 = 0. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно 7. Значит, корни x₁ = 1 и x₂ = 7. Тогда x² - 8x + 7 = (x - 1)(x - 7). Следовательно, 3x² - 24x + 21 = 3(x - 1)(x - 7).

б) Разложим квадратный трехчлен 5z² + 10z - 15 на множители. Вынесем общий множитель 5 за скобки: 5(z² + 2z - 3). Теперь разложим квадратный трехчлен z² + 2z - 3. Найдем корни уравнения z² + 2z - 3 = 0. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение равно -3. Значит, корни z₁ = 1 и z₂ = -3. Тогда z² + 2z - 3 = (z - 1)(z + 3). Следовательно, 5z² + 10z - 15 = 5(z - 1)(z + 3).

в) Разложим квадратный трехчлен 1/3x² + 1/3x + 1/3 на множители. Вынесем общий множитель 1/3 за скобки: 1/3(x² + x + 1). Квадратный трехчлен x² + x + 1 не имеет действительных корней, так как дискриминант D = 1² - 4*1*1 = -3 < 0. Следовательно, разложение на множители с действительными коэффициентами невозможно, поэтому 1/3x² + 1/3x + 1/3 = 1/3(x² + x + 1).

г) Разложим квадратный трехчлен x² - 12x + 20. Найдем корни уравнения x² - 12x + 20 = 0. По теореме Виета, сумма корней равна 12, а произведение равно 20. Значит, корни x₁ = 2 и x₂ = 10. Тогда x² - 12x + 20 = (x - 2)(x - 10).

д) Разложим квадратный трехчлен -y² + 16y - 15. Вынесем минус за скобки: -(y² - 16y + 15). Теперь разложим квадратный трехчлен y² - 16y + 15. Найдем корни уравнения y² - 16y + 15 = 0. По теореме Виета, сумма корней равна 16, а произведение равно 15. Значит, корни y₁ = 1 и y₂ = 15. Тогда y² - 16y + 15 = (y - 1)(y - 15). Следовательно, -y² + 16y - 15 = -(y - 1)(y - 15) = (1-y)(y-15).

e) Разложим квадратный трехчлен -t² - 8t + 9. Вынесем минус за скобки: -(t² + 8t - 9). Теперь разложим квадратный трехчлен t² + 8t - 9. Найдем корни уравнения t² + 8t - 9 = 0. По теореме Виета, сумма корней равна -8, а произведение равно -9. Значит, корни t₁ = 1 и t₂ = -9. Тогда t² + 8t - 9 = (t - 1)(t + 9). Следовательно, -t² - 8t + 9 = -(t - 1)(t + 9) = (1-t)(t+9).

ж) Разложим квадратный трехчлен 2x² - 5x. Вынесем общий множитель x за скобки: x(2x - 5).

з) 5y² + 2y - - данное выражение не является квадратным трехчленом, так как отсутствует свободный член (число без переменной).

и) Разложим квадратный трехчлен -2n² + 5n. Вынесем общий множитель n за скобки: n(-2n + 5) = -n(2n - 5).

Ответ: a) 3(x - 1)(x - 7); б) 5(z - 1)(z + 3); в) 1/3(x² + x + 1); г) (x - 2)(x - 10); д) -(y - 1)(y - 15); e) -(t - 1)(t + 9); ж) x(2x - 5); з) не является квадратным трехчленом; и) -n(2n - 5)