3. Разность катетов прямоугольного треуго гипотенуза равна 37 см. Найдите площадь треуг

Ответ: 210 см²

1. Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, где a > b, и c - гипотенуза. По условию, a - b = 7 и c = 37.
2. Применим теорему Пифагора: \[a^2 + b^2 = c^2\] \[a^2 + b^2 = 37^2 = 1369\]
3. Выразим a через b из условия a - b = 7: \[a = b + 7\]
4. Подставим выражение для a в теорему Пифагора: \[(b + 7)^2 + b^2 = 1369\] \[b^2 + 14b + 49 + b^2 = 1369\] \[2b^2 + 14b - 1320 = 0\] \[b^2 + 7b - 660 = 0\]
5. Решим квадратное уравнение относительно b: \[D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-660) = 49 + 2640 = 2689 = 51.85^2 \approx 52^2\] \[b_1 = \frac{-7 + 52}{2} = \frac{45}{2} = 22.5\] \[b_2 = \frac{-7 - 52}{2} = \frac{-59}{2} = -29.5\]
6. Так как длина катета не может быть отрицательной, то b = 22.5 см.
7. Найдем a: \[a = b + 7 = 22.5 + 7 = 29.5\] см.
8. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: \[S = \frac{1}{2}ab\] \[S = \frac{1}{2} \cdot 29.5 \cdot 22.5 = \frac{663.75}{2} = 331.875 \approx 332\]

Ответ: 332 см²