2. Разность катетов прямоугольного треугольника равна 21 см, а площадь треугольника равна 540 см². Найдите его гипотенузу

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b, где a > b. Тогда по условию: $$a - b = 21$$ Площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2}ab = 540$$ $$ab = 1080$$ Выразим a из первого уравнения: $$a = b + 21$$ Подставим во второе уравнение: $$(b + 21)b = 1080$$ $$b^2 + 21b - 1080 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = 21^2 - 4(1)(-1080) = 441 + 4320 = 4761$$ $$b = \frac{-21 \pm \sqrt{4761}}{2} = \frac{-21 \pm 69}{2}$$ Так как b > 0, то: $$b = \frac{-21 + 69}{2} = \frac{48}{2} = 24$$ Тогда: $$a = 24 + 21 = 45$$ Найдем гипотенузу c: $$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{45^2 + 24^2} = \sqrt{2025 + 576} = \sqrt{2601} = 51$$ Ответ: 51 см