1. Решите системы уравнений 1) {x²+10xy+25y²=49, x-5y = -3; 2) {x² + y² = 10, xy = 3;

1. Решите системы уравнений

1) $$ \begin{cases} x^2 + 10xy + 25y^2 = 49, \\ x - 5y = -3. \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение: $$(x + 5y)^2 = 49$$ $$x + 5y = \pm 7$$ Выразим x из второго уравнения: $$x = 5y - 3$$ Подставим выражение для x в первое уравнение:

• $$5y - 3 + 5y = 7$$ $$10y = 10$$ $$y = 1$$ $$x = 5(1) - 3 = 2$$

• $$5y - 3 + 5y = -7$$ $$10y = -4$$ $$y = -0.4$$ $$x = 5(-0.4) - 3 = -2 - 3 = -5$$

Ответ: (2; 1) и (-5; -0.4)

2) $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ xy = 3. \end{cases} $$ Выразим y из второго уравнения: $$y = \frac{3}{x}$$ Подставим выражение для y в первое уравнение: $$x^2 + \left(\frac{3}{x}\right)^2 = 10$$ $$x^2 + \frac{9}{x^2} = 10$$ Умножим обе части на $$x^2$$: $$x^4 + 9 = 10x^2$$ $$x^4 - 10x^2 + 9 = 0$$ Пусть $$z = x^2$$, тогда уравнение принимает вид: $$z^2 - 10z + 9 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = (-10)^2 - 4(1)(9) = 100 - 36 = 64$$ $$z_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2} = \frac{10 + 8}{2} = 9$$ $$z_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2} = \frac{10 - 8}{2} = 1$$ Тогда:

• $$x^2 = 9$$ $$x = \pm 3$$ Если $$x = 3$$, то $$y = \frac{3}{3} = 1$$ Если $$x = -3$$, то $$y = \frac{3}{-3} = -1$$

• $$x^2 = 1$$ $$x = \pm 1$$ Если $$x = 1$$, то $$y = \frac{3}{1} = 3$$ Если $$x = -1$$, то $$y = \frac{3}{-1} = -3$$

Ответ: (3; 1), (-3; -1), (1; 3), (-1; -3)