7

Решение:

Нужно найти значение выражения \( \frac{xy + y^2}{4x} \) при \( x = \sqrt{3} \) и \( y = -5.2 \).

Подставим данные значения в выражение:

\( \frac{\sqrt{3} \cdot (-5.2) + (-5.2)^2}{4 \cdot \sqrt{3}} \)

\( = \frac{-5.2\sqrt{3} + (5.2)^2}{4\sqrt{3}} \)

\( = \frac{-5.2\sqrt{3} + 27.04}{4\sqrt{3}} \)

Чтобы избавиться от \( \sqrt{3} \) в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \):

\( = \frac{(-5.2\sqrt{3} + 27.04) \cdot \sqrt{3}}{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} \)

\( = \frac{-5.2 \cdot 3 + 27.04\sqrt{3}}{4 \cdot 3} \)

\( = \frac{-15.6 + 27.04\sqrt{3}}{12} \)

\( = \frac{27.04\sqrt{3} - 15.6}{12} \)

Теперь разделим каждый член числителя на 12:

\( = \frac{27.04\sqrt{3}}{12} - \frac{15.6}{12} \)

\( \approx 2.253\sqrt{3} - 1.3 \)

\( \approx 2.253 \cdot 1.732 - 1.3 \)

\( \approx 3.904 - 1.3 \)

\( \approx 2.604 \)

Ответ: \( \frac{27.04\sqrt{3} - 15.6}{12} \) или приблизительно \( 2.604 \).