Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешение систем уравнений второй степени Вариант 1 1. Решите системы уравнений: x-y=4 a) (xy+y² = 6 б) (x² + y² = 25 xy = 12
Ответ:
a) Решение системы уравнений
Дана система уравнений: \[\begin{cases} x - y = 4 \\ xy + y^2 = 6 \end{cases}\]
- Выразим x через y из первого уравнения:
\[x = y + 4\]
- Подставим это выражение во второе уравнение:
\[(y + 4)y + y^2 = 6\]
\[y^2 + 4y + y^2 = 6\]
\[2y^2 + 4y - 6 = 0\]
\[y^2 + 2y - 3 = 0\]
- Решим квадратное уравнение относительно y:
Используем теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета: \[y_1 + y_2 = -2\] \[y_1 \cdot y_2 = -3\] Корни: \[y_1 = 1, y_2 = -3\]
- Найдем соответствующие значения x:
Для \[y_1 = 1\]: \[x_1 = y_1 + 4 = 1 + 4 = 5\] Для \[y_2 = -3\]: \[x_2 = y_2 + 4 = -3 + 4 = 1\]
Ответ: (5; 1), (1; -3)
б) Решение системы уравнений
Дана система уравнений: \[\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ xy = 12 \end{cases}\]
- Выразим y через x из второго уравнения:
\[y = \frac{12}{x}\]
- Подставим это выражение в первое уравнение:
\[x^2 + \left(\frac{12}{x}\right)^2 = 25\]
\[x^2 + \frac{144}{x^2} = 25\]
Умножим обе части уравнения на \[x^2\]: \[x^4 + 144 = 25x^2\]
\[x^4 - 25x^2 + 144 = 0\]
- Решим биквадратное уравнение относительно x:
Пусть \[z = x^2\], тогда уравнение принимает вид: \[z^2 - 25z + 144 = 0\]
Найдем дискриминант: \[D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 - 576 = 49\] \[z_1 = \frac{25 + \sqrt{49}}{2} = \frac{25 + 7}{2} = \frac{32}{2} = 16\] \[z_2 = \frac{25 - \sqrt{49}}{2} = \frac{25 - 7}{2} = \frac{18}{2} = 9\]
- Найдем значения x:
\[x^2 = 16 \Rightarrow x_1 = 4, x_2 = -4\] \[x^2 = 9 \Rightarrow x_3 = 3, x_4 = -3\]
- Найдем соответствующие значения y:
Для \[x_1 = 4\]: \[y_1 = \frac{12}{4} = 3\] Для \[x_2 = -4\]: \[y_2 = \frac{12}{-4} = -3\] Для \[x_3 = 3\]: \[y_3 = \frac{12}{3} = 4\] Для \[x_4 = -3\]: \[y_4 = \frac{12}{-3} = -4\]
Ответ: (4; 3), (-4; -3), (3; 4), (-3; -4)
Проверка за 10 секунд: Подставьте полученные пары чисел в исходные уравнения, чтобы убедиться, что они удовлетворяют обоим уравнениям.
Читерский прием: Запомните основные методы решения систем уравнений, чтобы быстро находить ответы на экзаменах.
Похожие
