1

Решение:

Вписанный угол \( \angle BAC \) равен половине дуги \( BC \), на которую он опирается. Центральный угол \( \angle BOC \) равен градусной мере дуги \( BC \). Таким образом, \( \angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC \).

В данной задаче \( \angle BAC = 40^{\circ} \). Следовательно, дуга \( BC = 2 \cdot 40^{\circ} = 80^{\circ} \).

Угол \( x \) является вписанным углом, опирающимся на дугу \( AC \). Чтобы найти \( x \), нам нужно найти градусную меру дуги \( AC \).

Поскольку \( OC \) и \( OB \) — радиусы, треугольник \( OBC \) — равнобедренный. Угол \( \angle OBC = \\[
\frac{180^{\circ} - 80^{\circ}}{2} = 50^{\circ} \).

Угол \( x \) опирается на дугу \( AC \). Дуга \( AC \) равна \( 180^{\circ} - \text{дуга } BC \) если \( BC \) является частью полуокружности, но это не дано.

Рассмотрим угол \( \angle ABC \). Он опирается на дугу \( AC \). Мы не знаем \( \angle ABC \).

Из рисунка видно, что \( BC \) — диаметр. Тогда дуга \( BAC = 180^{\circ} \).

Если \( BC \) — диаметр, то \( \angle BAC = 90^{\circ} \), но дано \( 40^{\circ} \). Значит \( BC \) не диаметр.

Вписанный угол \( ∠ BAC = 40^{\circ} \) опирается на дугу \( BC \). Значит, дуга \( BC = 2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ} \).

Угол \( x = ∠ BCA \) опирается на дугу \( AB \).

\( ∠ ABC \) опирается на дугу \( AC \).

Центральный угол \( ∠ BOC = 80^{\circ} \). Треугольник \( OBC \) равнобедренный ( \( OB = OC \) - радиусы).

\( ∠ OCB = ∠ OBC = (180^{\circ} - 80^{\circ}) / 2 = 50^{\circ} \).

Угол \( ∠ OAC = ∠ OCA \) (треугольник \( OAC \) равнобедренный).

Угол \( ∠ OAB \) и \( ∠ OBA \) (треугольник \( OAB \) равнобедренный).

Вписанный угол \( x = ∠ BCA \). Он опирается на дугу \( AB \).

Угол \( ∠ AOB \) - центральный, опирается на дугу \( AB \).

Угол \( ∠ AOC \) - центральный, опирается на дугу \( AC \).

\( ∠ BAC = 40^{\circ} \) (вписанный) опирается на дугу \( BC \). Дуга \( BC = 2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ} \).

Центральный угол \( ∠ BOC = 80^{\circ} \).

В равнобедренном \( ∆ OBC \) ( \( OB=OC \) ), \( ∠ OCB = ∠ OBC = (180^{\circ} - 80^{\circ}) / 2 = 50^{\circ} \).

Угол \( x = ∠ BCA = 50^{\circ} \).

Примечание: В условии задачи \( x \) обозначен как \( ∠ BCA \). Если \( x \) обозначает угол \( ∠ ABC \), то для этого нужно найти дугу \( AC \).

На рисунке \( x \) обозначен как \( ∠ BCA \).

Ответ: \( x = 50^{\circ} \).