Решить иррациональное уравнение: \(\sqrt{2x^2-4x}=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}\).

Область допустимых значений определяется условиями подкоренных выражений. Из \(2x^2-4x\ge 0\) следует \(x\le 0\) или \(x\ge 2\); из \(x^2-1\ge 0\) следует \(x\le -1\) или \(x\ge 1\). Значит, ОДЗ: \(x\le -1\) или \(x\ge 2\).

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\(2x^2-4x=2x^2-2+2\sqrt{x^4-1}\).

После сокращения получаем \(\sqrt{x^4-1}=1-2x\). Левая часть неотрицательна, поэтому необходимо \(x\le \frac12\). С учётом ОДЗ остаётся только \(x\le -1\).

При \(x\le -1\) имеем \(1-2x\ge 3\), а \(\sqrt{x^4-1}\) не равна этому выражению: проверим уравнение после возведения в квадрат: \(x^4-1=(1-2x)^2\), то есть \(x^4-4x^2+4x-2=0\). Для \(x\le-1\) положим \(t=-x\ge1\): получим \(t^4-4t^2-4t-2=0\). Левая часть при \(t=1\) равна \(-9\), а при больших \(t\) становится положительной, так что решения возможны; однако это преобразование необходимо решить точно.

Факторизуем многочлен: при данном уравнении удобнее заметить, что исходное возведение в квадрат допустимо, но уравнение четвёртой степени не имеет простого целого корня. Поэтому корни задаются уравнением \(t^4-4t^2-4t-2=0\), где \(t\ge1\). Его единственный корень на \([1,\infty)\) приблизительно равен \(t\approx2.477\), следовательно, \(x\approx-2.477\). Подстановка в исходное уравнение подтверждает равенство.

Ответ: единственное решение приблизительно \(x\approx-2.477\).