Решить неравенства: 1) \( (0,09)^{5x-1} < 0,3^{x+7} \); 2) \( 25^x + 4 \cdot 5^x - 5 \ge 0 \)

Решение:

1. \( (0,09)^{5x-1} < 0,3^{x+7} \)
   Запишем основания степени в виде \( 0,3 \):
   \( (0,3^2)^{5x-1} < 0,3^{x+7} \)
   \( 0,3^{2(5x-1)} < 0,3^{x+7} \)
   \( 0,3^{10x-2} < 0,3^{x+7} \)
   Так как основание степени \( 0,3 < 1 \), при раскрытии неравенства знак меняется на противоположный:
   \( 10x-2 > x+7 \)
   \( 10x-x > 7+2 \)
   \( 9x > 9 \)
   \( x > 1 \)
2. \( 25^x + 4 \cdot 5^x - 5 \ge 0 \)
   Заменим \( 25^x = (5^2)^x = (5^x)^2 \). Пусть \( y = 5^x \). Тогда уравнение примет вид:
   \( y^2 + 4y - 5 \ge 0 \)
   Найдем корни квадратного трехчлена:
   \( y^2 + 4y - 5 = 0 \)
   \( D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \)
   \( y_1 = \frac{-4+\sqrt{36}}{2} = \frac{-4+6}{2} = 1 \)
   \( y_2 = \frac{-4-\sqrt{36}}{2} = \frac{-4-6}{2} = -5 \)
   Неравенство \( y^2 + 4y - 5 \ge 0 \) выполняется при \( y ≥ 1 \) или \( y ≤ -5 \).
   Вернемся к замене \( y = 5^x \).
   \( 5^x ≥ 1 \)
   \( 5^x ≥ 5^0 \)
   \( x ≥ 0 \)
   \( 5^x ≤ -5 \)
   Это неравенство не имеет решений, так как \( 5^x > 0 \) для любого \( x \).
   Объединяя решения, получаем \( x ≥ 0 \).

Ответ: 1) x > 1; 2) x ≥ 0.