Решить уравнения: 1) \( 5 \cdot 25^x = 125 \); 2) \( 4^{x^2-7x+10} = 1 \); 3) \( 3 \cdot 9^x - 10 \cdot 3^x + 3 = 0 \)

Решение:

1. \( 5 \cdot 25^x = 125 \)
   \( 25^x = \frac{125}{5} \)
   \( 25^x = 25 \)
   \( x = 1 \)
2. \( 4^{x^2-7x+10} = 1 \)
   Так как \( a^0 = 1 \) для любого \( a \neq 0 \), то
   \( x^2-7x+10 = 0 \)
   \( D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \)
   \( x_1 = \frac{7+\sqrt{9}}{2} = \frac{7+3}{2} = 5 \)
   \( x_2 = \frac{7-\sqrt{9}}{2} = \frac{7-3}{2} = 2 \)
3. \( 3 \cdot 9^x - 10 \cdot 3^x + 3 = 0 \)
   Заменим \( 9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 \). Пусть \( y = 3^x \). Тогда уравнение примет вид:
   \( 3y^2 - 10y + 3 = 0 \)
   \( D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 \)
   \( y_1 = \frac{10+\sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10+8}{6} = \frac{18}{6} = 3 \)
   \( y_2 = \frac{10-\sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10-8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
   Теперь вернемся к замене:
   \( 3^x = 3 \) \( \Rightarrow x = 1 \)
   \( 3^x = \frac{1}{3} = 3^{-1} \) \( \Rightarrow x = -1 \)

Ответ: 1) x = 1; 2) x₁ = 2, x₂ = 5; 3) x₁ = 1, x₂ = -1.