6)Решить неравенство: log1/6 (10 – x) + log1/6 (x - 3) ≥ −1.

Решим неравенство: $$\log_{\frac{1}{6}} (10 - x) + \log_{\frac{1}{6}} (x - 3) \ge -1$$.

ОДЗ: $$10 - x > 0$$ и $$x - 3 > 0$$, следовательно, $$x < 10$$ и $$x > 3$$. Итого: $$3 < x < 10$$.

Используем свойство логарифмов: $$\log_a b + \log_a c = \log_a (b \times c)$$.

Тогда: $$\log_{\frac{1}{6}} ((10 - x)(x - 3)) \ge -1$$.

Представим -1 как логарифм по основанию $$\frac{1}{6}$$: $$-1 = \log_{\frac{1}{6}} 6$$.

Получаем: $$\log_{\frac{1}{6}} ((10 - x)(x - 3)) \ge \log_{\frac{1}{6}} 6$$.

Основание логарифма меньше 1, значит, функция убывает. При отбрасывании логарифмов меняем знак неравенства:

$$(10 - x)(x - 3) \le 6$$.

$$10x - 30 - x^2 + 3x \le 6$$.

$$-x^2 + 13x - 30 \le 6$$.

$$-x^2 + 13x - 36 \le 0$$.

$$x^2 - 13x + 36 \ge 0$$.

Найдем корни квадратного уравнения: $$x^2 - 13x + 36 = 0$$.

По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = 13$$, $$x_1 \times x_2 = 36$$.

$$x_1 = 4$$, $$x_2 = 9$$.

Решим неравенство методом интервалов:

       +            -            +      ----(4)--------(9)----> x  

$$x \le 4$$ или $$x \ge 9$$.

С учетом ОДЗ: $$3 < x \le 4$$ или $$9 \le x < 10$$.

Ответ: $$3 < x \le 4$$ или $$9 \le x < 10$$