Решить систему уравнений: 2) \(\begin{cases}\log_3(2x-1)+\log_3 y=2,\\x+2y=8;\end{cases}\)

Область определения: \(2x-1>0\), \(y>0\).

По свойству логарифмов первое уравнение равносильно \(\log_3((2x-1)y)=2\), значит \((2x-1)y=9\).

Из второго уравнения \(x=8-2y\). Подставим:

\((2(8-2y)-1)y=9\),
\((15-4y)y=9\),
\(4y^2-15y+9=0\).

Корни квадратного уравнения: \(y=3\) и \(y=\frac{3}{4}\).

Если \(y=3\), то \(x=8-2\cdot3=2\). Если \(y=\frac{3}{4}\), то \(x=8-2\cdot\frac{3}{4}=\frac{13}{2}\). Обе пары удовлетворяют области определения.

Ответ: \((2;\,3)\), \((\frac{13}{2};\,\frac{3}{4})\).