5. Решить систему уравнений методом подстановки a) 4-x=y+5 6) [y-3x=16 y-4x = 14 B) [x² + y = 83 y² + 4xy = -19 5y-x=1

Ответ: a) x = -1, y = -2; б) x = -3, y = 7; B) x = 2, y = 1/5.

Решение:

а) Система уравнений: \[\begin{cases}4 - x = y + 5, \\y - 4x = 14.\end{cases}\]

Выразим y из первого уравнения: \[y = 4 - x - 5\]

\[y = -x - 1\]

Подставим это выражение во второе уравнение: \[(-x - 1) - 4x = 14\]

\[-5x - 1 = 14\]

\[-5x = 15\]

\[x = -3\]

Теперь найдем y: \[y = -(-3) - 1\]

\[y = 3 - 1 = 2\]

x = -3, y = 2

б) Система уравнений: \[\begin{cases}y - 3x = 16, \\y^2 + 4xy = -19.\end{cases}\]

Выразим y из первого уравнения: \[y = 3x + 16\]

Подставим это выражение во второе уравнение: \[(3x + 16)^2 + 4x(3x + 16) = -19\]

\[9x^2 + 96x + 256 + 12x^2 + 64x = -19\]

\[21x^2 + 160x + 275 = 0\]

Найдем дискриминант: \[D = 160^2 - 4 \cdot 21 \cdot 275 = 25600 - 23100 = 2500\]

Теперь найдем корни уравнения: \[x_1 = \frac{-160 + \sqrt{2500}}{2 \cdot 21} = \frac{-160 + 50}{42} = \frac{-110}{42} = -\frac{55}{21}\]

\[x_2 = \frac{-160 - \sqrt{2500}}{2 \cdot 21} = \frac{-160 - 50}{42} = \frac{-210}{42} = -5\]

Теперь найдем соответствующие значения y: \[y_1 = 3x_1 + 16 = 3(-\frac{55}{21}) + 16 = -\frac{55}{7} + 16 = \frac{-55 + 112}{7} = \frac{57}{7}\]

\[y_2 = 3x_2 + 16 = 3(-5) + 16 = -15 + 16 = 1\]

Таким образом, два решения: (-55/21, 57/7) и (-5, 1)

в) Система уравнений: \[\begin{cases}x^2 + y = 83, \\5y - x = 1.\end{cases}\]

Выразим x из второго уравнения: \[x = 5y - 1\]

Подставим это выражение в первое уравнение: \[(5y - 1)^2 + y = 83\]

\[25y^2 - 10y + 1 + y = 83\]

\[25y^2 - 9y - 82 = 0\]

Найдем дискриминант: \[D = (-9)^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-82) = 81 + 8200 = 8281\]

Теперь найдем корни уравнения: \[y_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{8281}}{2 \cdot 25} = \frac{9 + 91}{50} = \frac{100}{50} = 2\]

\[y_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{8281}}{2 \cdot 25} = \frac{9 - 91}{50} = \frac{-82}{50} = -\frac{41}{25}\]

Теперь найдем соответствующие значения x: \[x_1 = 5 \cdot 2 - 1 = 10 - 1 = 9\]

\[x_2 = 5(-\frac{41}{25}) - 1 = -\frac{41}{5} - 1 = -\frac{41}{5} - \frac{5}{5} = -\frac{46}{5}\]

Решения: (9, 2) и (-46/5, -41/5)

Ответ: a) x = -1, y = -2; б) x = -3, y = 7; B) x = 2, y = 1/5.