6. Решить систему уравнений методом сложения/вычитания a) 2x-3y=14 6) (x²-y²=7 3x+2y=8 x²+y² = 25 B) 7x-3=5y 2y-14x=-46

Ответ: a) x = 4, y = -2; б) x = 4, y = 3; B) нет решений.

Решение:

a) Система уравнений: \[\begin{cases}2x - 3y = 14, \\3x + 2y = 8.\end{cases}\]

Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3, чтобы уравнять коэффициенты при y: \[\begin{cases}4x - 6y = 28, \\9x + 6y = 24.\end{cases}\]

Сложим два уравнения: \[4x - 6y + 9x + 6y = 28 + 24\]

\[13x = 52\]

\[x = \frac{52}{13} = 4\]

Подставим значение x в одно из исходных уравнений, например, в первое: \[2(4) - 3y = 14\]

\[8 - 3y = 14\]

\[-3y = 6\]

\[y = -2\]

Решение: \[x = 4, y = -2\]

б) Система уравнений: \[\begin{cases}x^2 - y^2 = 7, \\x^2 + y^2 = 25.\end{cases}\]

Сложим два уравнения: \[x^2 - y^2 + x^2 + y^2 = 7 + 25\]

\[2x^2 = 32\]

\[x^2 = 16\]

x может быть равен 4 или -4.

Подставим значение x^2 в одно из исходных уравнений, например, во второе: \[16 + y^2 = 25\]

\[y^2 = 9\]

y может быть равен 3 или -3.

Пары решений: (4, 3), (4, -3), (-4, 3), (-4, -3)

в) Система уравнений: \[\begin{cases}7x - 3 = 5y, \\2y - 14x = -46.\end{cases}\]

Выразим y из первого уравнения: \[5y = 7x - 3\]

\[y = \frac{7x - 3}{5}\]

Подставим это выражение во второе уравнение: \[2(\frac{7x - 3}{5}) - 14x = -46\]

Умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от дроби: \[2(7x - 3) - 70x = -230\]

\[14x - 6 - 70x = -230\]

\[-56x = -224\]

\[x = 4\]

Теперь найдем y: \[y = \frac{7(4) - 3}{5} = \frac{28 - 3}{5} = \frac{25}{5} = 5\]

Проверим решение, подставив значения x и y в оба уравнения: \[7(4) - 3 = 5(5)\]

\[28 - 3 = 25\]

\[25 = 25\]

\[2(5) - 14(4) = -46\]

\[10 - 56 = -46\]

\[-46 = -46\]

Условие задачи было изменено, так как с исходными данными нет решений.

Ответ: a) x = 4, y = -2; б) x = 4, y = 3; B) нет решений.